MOMEN,
KEMENCENGAN DAN KURTOSIS
1. PENDAHULUAN
Rata-rata
dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran
lain
yang disebut momen. Dari momen ini pula beberapa ukuran lain
dapat
diturunkan.
Bentuk-bentuk
sederhana dari momen
dan ukuran-ukuran yang
didapat
daripadanya
akan
diuraikan di dalam bab ini.
2. MOMEN
Misalkan diberikan
variable x dengan harga-harga: x1, x2, …., xn. Jika
A =
sebuah bilangan
tetap dan r = 0, 1, 2, ……., n,
maka momen ke-r sekitar
A, disingkat
mr,
didefinisikan oleh hubungan:
(1)
……………………………
= Σ(
)
Untuk
A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r:
(2)
……………………………
− =
Dari rumus
(2), maka untuk r
= 1 didapat
rata-rata ̅ . Jika
A = ̅
kita peroleh
momen
ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan mr.
Jadi didapat:
(3)
…………………………...
=(̅ )
Untuk
r = 2, rumus (3) memberikan varians s2.
Untuk
membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka
dipakai
simbul:
mr dan
mr untuk momen sampel
dan r dan
r untuk momen populasi.
Jadi,
mr dan mr adalah statistik
sedangkan r dan
r merupakan parameter.
Jika
data telah disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, maka rumus-rumus di
atas
berturut-turut berbentuk:
(4)
………………………..
(5)
………………………..
(6)
………………………..
= Σ ( )
− =
=(̅ )
dengan
n = fi, xi = tanda kelas interval
dan fi =
frekuensi yang sesuai dengan xi.
Dengan
menggunakan cara sandi, rumus 4 menjadi:
(7)
………………………
dengan, p = panjang
kelas interval,
=
ci = variable sandi.
Dari
,
harga-harga mr untuk
beberapa harga
r, dapat ditentukan
berdasarkan
hubungan:
= − ( )
= − 3
= − 4
+ 2(
)
+ 6(
)
− 3(
)
Contoh:
Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam
daftar
distribusi
frekuensi, kita lakukan sebagai berikut.
DATA
60 –
62
63 – 65
66 – 68
69 – 71
72 - 74
Jumlah
fi
5
18
42
27
8
100
ci
-2
-1
0
1
2
-
fici
-10
-18
0
27
16
15
20
18
0
27
32
97
-40
-18
0
27
64
33
80
18
0
27
128
253
=
Dengan menggunakan
rumus (7), maka:
= 3
= 0,45
=
= 3
= 8,73
=
= 3
= 8,91
=
= 3
= 204,93
Sehingga
dengan menggunakan hubungan di atas:
= − ( )
= 8,73 −
(0,45) = 8,53.
= − 3
+ 2(
) = 8,91 − 3(0,45)(8,73) + 2(0,45) = −2,69
= − 4
+ 6(
)
− 3(
)
=
204,93 − 4(0,45)(8,91) + 6(0,45) (8,73) − 3(0,45) = 199,38
Dari
hasil ini, didapat varians s2 =
m2 = 8,53.
3. KEMENCENGAN
Kemencengan atau kecondongan (skewness)
adalah tingkat ketidaksimetrisan
atau
kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak
simetris
akan
memiliki
rata-rata, median,
dan modus yang
tidak sama besarnya
( ≠ Me ≠ Mo),
sehingga
distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan
menceng.
Jika
distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke
kiri
maka distribusi
disebut menceng ke kanan
atau memiliki kemencengan positif.
Sebaliknya, jika
distribusi memiliki ekor
yang lebih panjang ke kiri
daripada
yang ke
kanan
maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan
negatif.
Berikut
ini
gambar kurva dari
distribusi yang menceng ke
kanan (menceng
positif)
dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Mo
Gambar
a
Gambar 1
Mo
Gambar b
Kemencengan
Distribusi (a) Menceng ke kanan (b) Menceng ke kiri
Untuk
mengetahui bahwa konsentrasi
distribusi menceng ke
kanan atau
menceng
ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut :
1. Koefisien
Kemencengan
Pearson
Koefisien
Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus
dibagi
simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai
berikut:
−
=
Keterangan :
sk =
koefisien
kemencengan Pearson
Apabila
secara empiris didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai :
−
= 3(
− )
Maka
rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi :
3( − )
=
Jika
nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :
1) sk
= 0
kurva memiliki bentuk
simetris;
2) sk>
0
3) sk< 0
Contoh
soal :
nilai-nilai
terkonsentrasi pada
sisi sebelah kanan ( terletak
di
sebelah
kanan Mo),
sehingga
kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva
menceng ke kanan atau
menceng positif;
nilai-nilai
terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak
di sebelah kiri
Mo), sehingga kurva
memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng
ke kiri atau menceng
negatif.
Berikut
ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah
universitas.
Nilai
Ujian Statistika pada Semester 2, 2010
Nilai
Ujian
31 –
40
41 –
50
51 –
60
61 –
70
71 –
80
81 –
90
91 –
100
Jumlah
Frekuensi
4
3
5
8
11
7
2
40
a) Tentukan
nilai sk
dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !
b)
Gambarlah kurvanya !
Penyelesaian:
Nilai
31 –
40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 –
100
Jumlah
X
35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
f
4
3
5
8
11
7
2
40
u
-4
-3
-2
-1
0
1
2
u2
16
9
4
1
0
1
4
fu
-16
-9
-10
-8
0
7
4
-32
fu2
64
27
20
8
0
7
8
134
∑
= + ∑ =
75,5 + 10
−32
40 =
75,5 − 8 = 67,5
=
∑
1
−
∑
= 10
134
40 −
1
−32
40
= 10 (1,62) = 16,2
= +
2 −
(∑ ).=
60,5 + 2(40) − 12 . 10 = 60,5
+ 10 = 70,5
8
4
= ++. =
70,5 + 4 + 5 . 10 = 70,5 +
4,44 = 74,94
a.
=
= ,
,
,
= −0,46
Oleh
karena nilai sk-nya
negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke
kiri atau
menceng
negatif.
b. Gambar
kurvanya :
Kurva
nilai ujian statistik
12
10
8
6
4
2
0
35
45
56
66
Gambar 2
76
86
96
2. Koefisien
Kemencengan
Bowley
Kurva menceng ke kiri
Koefisien
kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1,
Q2 dan
Q3) dari sebuah
distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan
:
( − ) − ( −
)
=
atau
( − ) + ( −
)
− 2
+
=
−
Keterangan
: skB
= koefisien
kemencengan
Bowley;
Q = kuartil
Koefisien
kemencengan
Bowley sering juga disebut
Kuartil Koefisien
Kemencengan.Apabila
nilai skB dihubungkan dengan
keadaan kurva, didapatkan :
1)
Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan
menceng ke kanan atau menceng secara
positif.
2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka
distribusi akan menceng ke kiri atau menceng
secara
negatif.
3) skB
positif, berarti distribusi mencengke kanan.
4) skB
negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.
5) skB =
± 0,10 menggambarkan distribusi
yang menceng tidak berarti dan
skB> 0,30
menggambarkan
kurva yang menceng berarti.
Contoh
soal :
Tentukan
kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :
Nilai
Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997
Penyelesaian
:
Nilai
Ujian
20,00 – 29,99
30,00 – 39,99
40,00 – 49,99
50,00 – 59,99
60,00 – 69,99
70,00 – 79,99
Jumlah
Frekuensi
4
9
25
40
28
5
111
Kelas
Q1 = kelas ke -3
1
= +
4 −
(∑ ).=
39,995 + 27,75 − 13 . 10 = 45,895
25
Kelas
Q2 = kelas ke -4
1
= +
2 −
(∑ ).=
49,995 + 55,5 − 38 . 10 = 54,37
40
Kelas
Q3 = kelas ke -5
3
= +
4 −
(∑ ).=
59,995 + 83,25 − 78 . 10 = 61,87
28
=
− 2
+
−
=
61,87 − 2(54,37) +
45,895
61,87
− 45,895
= −0,06
Karena
skB negatif (=−0,06) maka
kurva menceng ke kiri dengan kemencengan
yang
berarti.
3. Koefisien
Kemencengan
Persentil
Koefisien
Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90,
P50 dan
P10) dari sebuah
distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil
dirumuskan :
( − ) − ( − )
=
−
Keterangan :
skP =
koefisien
kemecengan persentil , P = persentil
4. Keofisien
Kemencengan
Momen
Koefisien
Kemencengan
Momen didasarkan pada
perbandingan momen ke-3
dengan pangkat
tiga simpang baku. Koefisien
menencengan momen dilambangkan
dengan
α3. Koefisien kemencengan
momen disebut juga kemencengan relatif.
Apabila
nilai α3dihubungkan dengan
keadaan kurva, didapatkan :
1)
Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0,
2)
Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 =
positif,
3)
Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3=
negatif,
4) Menurut Karl
Pearson, distribusi yang
memiliki
nilai α3> ±0,50 adalah
distribusi
yang
sangat menceng
5) Menurut Kenney
dan Keeping, nilai α3 bervariasi
antara ± 2 bagi
distribusi yang
menceng.
Untuk
mencari nilaiα3, dibedakan antara data
tunggal dan data berkelompok.
a. Untuk
data tunggal
Koefisien
Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :
1
α3 = koefisien
kemencengan momen
=
=
2 ∑( − )
b. Untuk
data
berkelompok
Koefisien
kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :
1
atau
=
=
2 ∑( − )
= =
∑
− 3
∑
∑
+ 2
∑
dalam
pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya.
5. KERUNCINGAN
ATAU
KURTOSIS
Keruncingan
atau kurrtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang
biasanya
diambil secararelatif terhadap suatu distribusi normal.
Berdasarkan keruncingannya, kurva
distribusi dapat dibedakan
atas tiga macam,
yaitu
sebagai berikut :
1) Leptokurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
2) Platikurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
3) Mesokurtik
Merupakan
distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar
Bila distribusi
merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap
sebagai
distribusi normal.
leptokurtik
mesokurtik
platikurtik
Gambar
3. Keruncingan Kurva
Untuk
mengetahui keruncingan suatu
distribusi, ukuran
yang sering digunakan
adalah
koefisien kurtosis persentil.
1. Koefisien
keruncingan
Koefisien
keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan4
(alpha 4).
Jika
hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh :
1)
Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi
pletikurtik
2)
Nilai lebih besar dari 3, maka distibusinya adalah distribusi
leptokurtik
3)
Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi
mesokurtik
Untuk
mencari nilai koefisien
keruncingan, dibedakan
antara data tunggal
dan
data
kelompok.
a. Untuk
data tunggal
1 ∑( − )
∝ =
Contoh
soal:
Tentukan
keruncingan kurva dari data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian
:
=
6; s = 3,67
1 ∑( − )
2
3
6
8
11
Jumlah
1
5978
195,6
-
-4
-3
0
2
5
0
( − )
256
81
0
16
625
978
∝ =
=
(3,67)=181,4
= 1,08
Karena
nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi
platikurtik.
b. Untuk
data kelompok
atau
∝ =
1 ∑( − )
∝ =
∑
− 4
∑
∑
+ 6
∑
∑
− 3
∑
2. Koefisien
Kurtosis
Persentil
Koefisien
Kurtosis
Persentil dilambangkan dengan
K (kappa). Untuk
distribusi
normal,
nilai K = 0,263. Koefisien Kurtosis Persentil, dirumuskan :
1
Contoh
soal :
=
2(− )
−
Berikut
ini
disajikan tabel distribusi
frekuensi dari tinggi
100 mahasiswa
universitas
XYZ.
a. Tentukan
koefisien
kurtosis persentil (K) !
b. Apakah
distribusinya
termasuk distribusi normal !
Tinggi
Mahasiswa Universitas XYZ
Penyelesaian
:
Tinggi (inci)
60 –
62
63 –
65
66 –
68
69 –
71
72 -
74
Jumlah
frekuensi (f)
5
18
42
27
8
100
Kelas
Q1 =
kelas ke-3
1.
1.100
= +
4 −
(∑ ).= 65,5
+
4 −
23
42
. 3 = 65,64
Kelas
Q3 =
kelas ke-4
3.
3.100
= +
4 −
(∑ ).= 68,5
+
4 −
65
27
. 3 = 69,61
Kelas
P10 =
kelas ke-2
10.
10.100
=
+
100 −
(∑ ).= 62,5 +
100 −
5
18
. 3 = 63,33
Kelas
P90 =
kelas ke-4
90.
90.100
=
+
100 −
(∑ ).= 68,5 +
100 −
65
27
. 3 = 71,28
1
Koefisien kurtosis
persentil (K) adalah :
1
=
2(− )
−
=
2 (69,61 − 65,64)
71,28 − 63,33 = 0,25
Karena
nilai K = 0,25 (K<0,263) maka distribusinya bukan
distribusi
normal.
